Riset Operasional 2 - Linear Programming

Sahabat Kreatif Indonesia..

Postingan kali ini yaitu tentang Linear programming, lanjutan dari pengantar Riset Opersaional (RO), Nah.. Apa itu Linear Programming?

Next ---

LINEAR PROGRAMMING

SEJARAH

            Ide Linear Programming pertama kali dicetuskan oleh seorang ahli matematika asal Rusia bernama L.V. Kantorivich dalam bukunya yang berjudul ”MATHEMATICAL METHODS IN THE ORGANIZATION AND PLANNING OF PRODUCTION”. Dengan buku ini, ia telah merumuskan pertama kalinya persoalan “Linear Programming”. Namun, cara-cara pemecahan persoalan in di Rusia tidak berkembang dengan baik dan ternyata para ahli di negara Barat dan AS yang menggunakan cara ini dimanfaatkan dengan baik.

            Pada tahun 1947, seorang ahli matematika dari AS yang bernama George B. Dantzig menemukan suatu cara untuk memecahkan persoalan-persoalan linear programming. Cara pemecahan ini dinamakan ” Simplex Method”, yang diuraikan dalam bukunya ”LINEAR PROGRAMMING AND EXTENTION”. Selanjutnya teori ini berkembang pesat sekali terutama dibidang kemiliteran yang menyangkut optimisasi dalam strategi perang dan di bidang-bidang lainnya.

LINEAR PROGRAMMING (LP)

            Linear programming adalah teknik matematika yang dirancang untuk membantu manager dalam merencanakan dan membuat keputusan dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai tujuan perusahaan.

            Linear Programming memiliki empat ciri khusus, yaitu :

1.      Penyelesaian masalah mengarah pada pencapaian tujuan maksimisasi atau minimisasi.

2.      Kendala yang ada membatasi tingkat pencapaian tujuan

3.      Ada beberapa alternatif penyelesaian

4.      Hubungan matematis bersifat linier

Untuk membentuk suatu model linear programming perlu diterapkan asumsi-asumsi dasar, yaitu :

1.      Linearity

Fungsi obyektif dan kendala haruslah merupakan fungsi linier dan variabel keputusan. Hal ini akan mengakibatkan fungsi bersifat proporsional dan additif, misalnya untuk memproduksi 1 kursi dibutuhkan waktu 5 jam, maka untuk memproduksi 2 kursi dibutuhkan waktu 10 jam.

2.      Divisibility

Nilai variabel keputusan dapat berupa bilangan pecahan. Apabila diinginkan solusi berupa bilangan bulat (integer), aka harus digunakan metoda untuk integer programming.

3.      Non negativity variable

Nilai variabel keputusan haruslah tidak negatif ( ³ 0)

4.      Certainty

Semua konstanta (parameter) diasumsikan mempunyai nilai yang pasti. Bila nilai-nilai parameternya probabilistik, maka harus digunakan formulasi pemrograman masalah stokastik.

            Pada umumnya persoalan-persoalan yang dipecahkan dalam linear programming, yaitu :

a.       Allocation Problem

Ini merupakan pemecahan dalam alokasi bahan-bahan / barang dalam produksi

b.      Blending Problem

Ini merupakan cara pemecahan persoalan dari berbagai bahan campuran yang masing-masing unit dipecahkan dan digabung (blending) untuk menghasilkan output.

c.       Persoalan Transportasi

Ini merupakan pemecahan persoalan yang menyangkut adanya unit/barang/pasokan dan lain-lain pada beberapa tempat yang akan dipindahkan ke beberapa tempat lainnya. 

d.      Persoalan Personil

Ini merupakan penempatan personil sesuai dengan jabatan/tempatnya (assigment problem).

LP : METODE GRAFIK

Metode grafik hanya bisa digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dimana hanya terdapat dua variabel keputusan. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, langkah pertama yang harus dilakukan adalah memformulasikan permasalahan yang ada ke dalam bentuk Linear Programming (LP).

Contoh :

Perusahaan Krisna Furniture yang akan membuat meja dan kursi. Keuntungan yang diperoleh dari satu unit meja adalah $7,- sedang keuntungan yang diperoleh dari satu unit kursi adalah $5,-.

Namun untuk meraih keuntungan tersebut Krisna Furniture menghadapi kendala keterbatasan jam kerja. Untuk pembuatan 1 unit meja dia memerlukan 4 jam kerja. Untuk pembuatan 1 unit kursi dia membutuhkan 3 jam kerja. Untuk pengecatan 1 unit meja dibutuhkan 2 jam kerja, dan untuk pengecatan 1 unit kursi dibutuhkan 1 jam kerja. Jumlah jam kerja yang tersedia untuk pembuatan meja dan kursi adalah 240 jam per minggu sedang jumlah jam kerja untuk pengecatan adalah 100 jam per minggu. Berapa jumlah meja dan kursi yang sebaiknya diproduksi agar keuntungan perusahaan maksimum?

Dari kasus di atas dapat diketahui bahwa tujuan perusahaan adalah memaksimumkan profit. Sedangkan kendala perusahaan tersebut adalah terbatasnya waktu yang tersedia untuk pembuatan dan pengecatan. Apabila permasalahan tersebut diringkas dalam satu tabel akan tampak sebagai berikut:

	Jam kerja untuk membuat 1 unit produk		Total waktu tersedia per minggu
	Meja	Kursi
Pembuatan	4	2	240
Pengecatan	2	1	100
Profit per Unit	7	5

Mengingat produk yang akan dihasilkan adalah meja dan kursi, maka dalam rangka memaksimumkan profit, perusahaan harus memutuskan berapa jumlah meja dan kursi yang sebaiknya diproduksi. Dengan demikian dalam kasus ini, yang merupakan variabel keputusan adalah meja (X1) dan kursi (X2).

1.      Fungsi Tujuan

Profit = ($ 7 x jml meja yang diproduksi) + ($ 5 x jml kursi yang diproduksi)

Secara matematis dapat ditulis :

Maksimisasi : Z = 7 X₁ + 5 X₂

2.      Fungsi Kendala

·         Kendala : Waktu pembuatan

1 unit meja memerlukan 4 jam untuk pembuatan                  ->         4 X₁

1 unit kursi memerlukan 3 jam untuk pembuatan                  ->         3 X₂

Total waktu yang tersedia per minggu untuk pembuatan       ->          240 Jam

Dirumuskan dalam pertidaksamaan matematis                                   ->         4 X₁  + 3 X₂ £ 240

·         Kendala : Waktu pengecatan

1 unit meja memerlukan 2 jam untuk pengecatan                  ->         2 X₁

1 unit kursi memerlukan 1 jam untuk pengecatan                 ->         1 X₂

Total waktu yang tersedia per minggu untuk pengecatan      ->          100 Jam

Dirumuskan dalam pertidaksamaan matematis                                   ->         2 X₁  +  X₂ £ 100

Formulasi masalah secara lengkap :

Fungsi Tujuan : Maks.  Z = 7 X₁ + 5 X₂

Fungsi Kendala :          4 X₁  + 3 X₂ £ 240

                                    2 X₁  +    X₂  £ 100

                                           X₁  , X₂  ³ 0                       (kendala non-negatif)

            Setelah formulasi lengkapnya dibuat, maka Kasus Krisna Furniture tersebut akan diselesaikan dengan metode grafik. Keterbatasan metode grafik adalah bahwa hanya tersedia dua sumbu koordinat, sehingga tidak bisa digunakan untuk menyelesaikan kasus yang lebih dari dua variabel keputusan.

Langkah pertama dalam penyelesaian dengan metode grafik adalah menggambarkan fungsi kendalanya. Untuk menggambarkan kendala pertama secara grafik, kita harus merubah tanda pertidaksamaan menjadi tanda persamaan seperti berikut.

4 X₁ + 3 X₂ = 240

Untuk menggambarkan fungsi linear, maka cari titik potong garis tersebut dengan kedua sumbu. Suatu garis akan memotong salah satu sumbu apabila nilai variabel yang lain sama dengan nol. Dengan demikian kendala pertama akan memotong X₁, pada saat X₂ = 0, demikian juga kendala ini akan memotong X₂, pada saat X₁ = 0.

Kendala I :

 4 X₁ + 3 X₂ = 240

memotong sumbu X₁ pada saat X₂ = 0

4 X₁ + 0 = 240

X₁ = 240 / 4

X₁ = 60.

memotong sumbu X2 pada saat X₁ = 0

0 + 3 X₂ = 240

X₂ = 240/3

X₂ = 80

Kendala I memotong sumbu X₁ pada titik (60, 0) dan memotong sumbu X₂ pada titik (0, 80).

Kendala II :

2 X₁ + 1 X₂ = 100

memotong sumbu X₁ pada saat X₂ = 0

2 X₁ + 0 = 100

X₁ = 100/2

X₁ = 50

memotong sumbu X₂ pada saat X₁ =0

0 + X₂ = 100

X₂ = 100

Kendala I memotong sumbu X₁ pada titik (50, 0) dan memotong sumbu X₂ pada titik (0, 100).

 Titik potong kedua kendala bisa dicari dengan cara substitusi atau eliminasi

2 X₁ + 1 X₂ = 100         ->         X₂ = 100 - 2 X₁

4 X₁ + 3 X₂ = 240                                                         X₂ = 100 - 2 X₁

4 X₁ + 3 (100 - 2 X₁) = 240                                          X₂ = 100 - 2 * 30

4 X₁ + 300 - 6 X₁ = 240                                               X₂ = 100 - 60

- 2 X₁ = 240 - 300                                                        X₂ = 40

- 2 X₁ = - 60

X₁ = -60/-2 = 30.

Sehingga kedua kendala akan saling berpotongan pada titik (30, 40).

Tanda ≤ pada kedua kendala ditunjukkan pada area sebelah kiri dari garis kendala. Feasible region (area layak) meliputi daerah sebelah kiri dari titik A (0; 80), B (30; 40), dan C (60; 0).

Untuk menentukan solusi yang optimal, ada dua cara yang bisa digunakan yaitu

1. dengan menggunakan garis profit (iso profit line)

2. dengan titik sudut (corner point)

Penyelesaian dengan menggunakan garis profit adalah penyelesaian dengan menggambarkan fungsi tujuan. Kemudian fungsi tujuan tersebut digeser ke kanan sampai menyinggung titik terjauh dari dari titik nol, tetapi masih berada pada area layak (feasible region). Untuk menggambarkan garis profit, kita mengganti nilai Z dengan sembarang nilai yang mudah dibagi oleh koefisien pada fungsi profit. Pada kasus ini angka yang mudah dibagi angka 7 (koefisien X₁) dan 5 (koefisien X₂) adalah 35. Sehingga fungsi tujuan menjadi 35 = 7 X₁ + 5 X₂. Garis ini akan memotong sumbu X₁ pada titik (5, 0) dan memotong sumbu X₂ pada titik (0, 7).

Iso profit line menyinggung titik B yang merupakan titik terjauh dari titik nol. Titik B ini merupakan titik optimal. Untuk mengetahui berapa nilai X₁ dan X₂, serta nilai Z pada titik B tersebut, kita mencari titik potong antara kendala I dan kendala II (karena titik B merupakan perpotongan antara kendala I dan kendala II). Dengan menggunakan eliminiasi atau subustitusi diperoleh nilai X₁ = 30, X₂ = 40. dan Z = 410. Dari hasil perhitungan tersebut maka dapat disimpulkan bahwa keputusan perusahaan yang akan memberikan profit maksimal adalah memproduksi X₁ sebanyak 30 unit, X₂ sebanyak 40 unit dan perusahaan akan memperoleh profit sebesar 410.

Penyelesaian dengan menggunakan titik sudut (corner point) artinya kita harus mencari nilai tertinggi dari titik-titik yang berada pada area layak (feasible region). Dari peraga 1, dapat dilihat bahwa ada 4 titik yang membatasi area layak, yaitu titik 0 (0, 0), A (0, 80), B (30, 40), dan C (50, 0).

Keuntungan pada titik O (0, 0) adalah (7 x 0) + (5 x 0) = 0.

Keuntungan pada titik A (0; 80) adalah (7 x 0) + (5 x 80) = 400.

Keuntungan pada titik B (30; 40) adalah (7 x 30) + (5 x 40) = 410.

Keuntungan pada titik C (50; 0) adalah (7 x 50) + (5 x 0) = 350.

Karena keuntungan tertinggi jatuh pada titik B, maka sebaiknya perusahaan memproduksi meja sebanyak 30 unit dan kursi sebanyak 40 unit, dan perusahaan memperoleh keuntungan optimal sebesar 410.